Perché ci sono 52! mazzi di carte

di Manuel Gamba

Se mescolato in modo casuale, il modo in cui sono disposte le carte `e unico e diverso da tutti gli altri mazzi di carte nella storia dell’uomo. Per ogni partita di Burraco, di Scala 40 o di Briscola `e esistito un mazzo di carte inreplicabile con il solo ausilio del caso. Il numero di combinazioni totali `e, di fatto, superiore a 8 · 1068, ovvero 8 seguito da 68 zeri. Per capire il ragionamento utilizzato per arrivare a questo numero e perch´e `e cos`ı grande, conviene prima prendere un esempio di scala minore, utilizziamo due dadi, uno bianco e uno nero. 

Ipotizziamo di lanciare il dado bianco e di ottenere il numero 3, per poi lanciare il dado nero e ottenere il numero 1; chiameremo questa e tutti gli altri possibili risultati, che in questo caso sono i numeri determinati dai dadi, disposizioni. Non ci resta che chiederci quanto `e ”unica” la nostra disposizione, o meglio, quante altre disposizioni di numeri esistono. Lanciando il primo dado abbiamo 6 diversi possibili risultati, uno per faccia del dado. Ottenere ”3” come risultato dal dado bianco, `e una di solo sei possibilit`a. Si potrebbe anche pensare che lo stesso valga anche per il dado nero, ma si cadrebbe in errore, perch´e non vogliamo ottenere solo ”1”, ma vogliamo ottenere ”1” dopo aver ottenuto ”3”. E qui che il numero di disposizioni,, cresce, perch´e per ognuno dei sei possibili risultati ` del dado bianco, esistono altri 6 casi per il dado nero. Mi spiego: nel caso in cui il dado bianco risulti ”1”, si potrebbero ottenere dal dado nero un risultato qualsiasi fra uno e sei, dandoci le prime sei disposizioni; nel caso in cui dado bianco ottenessimo due ”2”, dal dado nero potremmo comunque ottenere un numero fra uno a sei, dandoci altre sei disposizioni e portandoci ad un totale di dodici disposizioni. Continuando concluderemmo che abbiamo sei disposizioni per ogni risultato possibile dal dado bianco, dandoci un totale di disposizioni di 6 · 6, ovvero 36. Se tirassimo 3 dadi, avremmo un numero di disposizioni 6 · 6 · 6, da cui otteniamo 216, e per 4 dadi avremmo 1296 disposizioni, ovvero 6 · 6 · 6 · 6. 

Abbiamo capito come approcciarci a questo tipo di problemi, passiamo quindi a quello che ci siamo chiesti in origine. Per un mazzo di 52 carte, la carta in cima, o pi`u appropriatamente la prima posizione, pu`o essere occupata da una qualsiasi carta, ci sono quindi cinquantadue possibilit`a. La carta successiva, ovvero quella nella seconda posizione, potr`a essere una qualsiasi di 51 carte, perch´e una `e gi`a posizionata e non pu`o farlo due volte . Abbiamo, solo per le prime due carte, 51 disposizioni per 52 carte che possono occupare la prima posizione, e quindi 52 · 51. Ma un mazzo non ha due carte, ne ha 52, e quindi le disposizioni totali sono molte di pi`u. La terza posizione pu`o essere occupata da 50 carte, la quarta da 49 e cosi via. Si conclude che, logicamente, il numero di disposizioni totale ´e 52·51·50·...·2·1, ovvero il prodotto di tutti i numeri (interi) fra 1 e 52. Siccome ´e un’operazione molto lunga da scrivere per intero, si utilizza il simbolo ”52!”, che si legge come ”cinquantadue fattoriale”. Similarmente 5! (cinque fattoriale) `e 5 · 4 · 3 · 2 · 1 e cos`ı per tutti i numeri ”senza la virgola”, ovvero i numeri detti interi. 52! ´e un numero cos`ı grande che ´e difficile per noi da concepire, che forse il discorso introduttivo per alcuni pu`o sembrare un esagerazione, ma per metterlo in scala, penso che mi basti dire una cosa: la probabilit`a di mescolare un mazzo e ottenere la stessa disposizione due volte ´e pi`u alta di quella di vincere la lotteria per otto volte consecutive. 

06/11/2023